高等代数相关笔记

向量与行列式的几何意义

向量几何意义

α=(a1a2an)令向量\alpha=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\\vdots\\a_n\end{pmatrix}

α(0,0,,0)(a1,a2,,an)线向量\alpha是从原点(0,0,\cdots ,0)指向另一点(a_1,a_2,\cdots,a_n)的有向线段

行列式几何意义

a11a21a12a22=a11a22a12a21对于二阶行列式\begin{vmatrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

α1=(a11a12)α2=(a21a22)向量\alpha_1=\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{12}\end{pmatrix}和\alpha_2=\begin{pmatrix}a_{21}\\a_{22}\end{pmatrix}所形成的一个平行四边形面积
S=2×12α1α2sinα1,α2=α1α21(α1α2α1α2)2S=2\times\frac{1}{2}|\alpha_1||\alpha_2|\sin\langle \alpha_1,\alpha_2\rangle=|\alpha_1||\alpha_2|\sqrt{1-(\frac{\alpha_1\cdot\alpha_2}{|\alpha_1||\alpha_2|})^2}
=(α1α2)2(α1α2)2\quad=\sqrt{(|\alpha_1||\alpha_2|)^2-(\alpha_1\cdot\alpha_2)^2}
=(a112+a122)(a212+a222)(a11a21+a12a22)2\quad=\sqrt{(a_{11}^2+a_{12}^2)(a_{21}^2+a_{22}^2)-(a_{11}a_{21}+a_{12}a_{22})^2}
=a122a212+a112a2222a11a21a12a22\quad=\sqrt{a_{12}^2a_{21}^2+a_{11}^2a_{22}^2-2a_{11}a_{21}a_{12}a_{22}}
=a11a22a12a21\quad=|a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}|

,我们可知,
二阶行列式是两个二维向量所围成的平行四边形的面积

,依次类推, 我们同样有
三阶行列式是三个三维向量所围成的平行六面体的体积
nnnn阶行列式是n个n维向量所围成的平行超多面体的超体积

线性相关性

,我们可以在多维空间中形象地想象,
0线行列式等于零 \Leftrightarrow 超多面体体积为0\Leftrightarrow 超多面体坍缩\Leftrightarrow 向量线性相关

,α1α2线,α1α2,A=0对于二阶行列式, \alpha_1与\alpha_2线性相关, 说明\alpha_1\parallel\alpha_2, 即行列式|A|=0
,对于三阶行列式,
α1,α2,α3线,α3α1α2,A=0\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3线性相关, 说明\alpha_3\parallel \alpha_1与\alpha_2形成的平面, 即行列式|A|=0

齐次线性方程组方阵与线性相关性

线(){a11x1+a12x2++a1nxn=0a21x1+a22x2++a2nxn=0an1x1+an2x2++annxn=0 对于齐次线性方程组(*) \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots +a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{2n}x_n=0 \\ \cdots \\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases}

(),x=(000),?方程组(*)必定有零解, 即\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}, 那么有没有非零解呢?

αi=(ai1ai2ain),A=AT=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann令\alpha_i=\begin{pmatrix}a_{i1}\\a_{i2}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix}, 则|A|=|A^T|=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots & &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{vmatrix}

Cramer,由Cramer法则可知,
()A0{α1,α2,,αn}线方程组(*)仅有零解\Leftrightarrow |A|\neq 0\Leftrightarrow \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}线性无关
()A=0{α1,α2,,αn}线方程组(*)有非零解\Leftrightarrow |A|= 0\Leftrightarrow \{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n\}线性相关

:要注意到:

  • 此时向量维度与向量个数相等
  • 方程组参数或者说行列式是否转置与方程组是否仅有零解无关

Cramer法则

{a11x1+a21x2++an1xn=b1a12x1+a22x2++an2xn=b2a1nx1+a2nx2++annxn=bn \begin{cases} a_{11}x_1+a_{21}x_2+\cdots +a_{n1}x_n=b_1 \\ a_{12}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{n2}x_n=b_2 \\ \cdots \\ a_{1n}x_1+a_{2n}x_2+\cdots +a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases}

αi=(ai1ai2ain),β=(b1b2bn),D=α1α2αn令\alpha_i=\begin{pmatrix}a_{i1}\\a_{i2}\\\vdots \\a_{in}\end{pmatrix},\beta=\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}, D=|\alpha_1\quad\alpha_2\quad\cdots \quad\alpha_n|

Dαiβ,Di将D中的\alpha_i替换成\beta, 就得到D_i

Cramer:xi=DiDCramer法则: x_i=\displaystyle\frac{D_i}{D}

:证明:

xi=DiD,将x_i=\displaystyle\frac{D_i}{D}带入方程组里,
Dii,,使0便并将D_i按i列展开, 整理, 使用不同行展开为0便可证

线性相关性

线0ki使k1α1+k2α2++knαn=0线性相关\Leftrightarrow存在不全为0的k_i使得k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots +k_n\alpha_n=0

线k1α1+k2α2++knαn=0线性无关\Leftrightarrow k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots +k_n\alpha_n=0只有零解

非方阵形式的齐次方程组

{a11x1+a21x2++an1xn=0a12x1+a22x2++an2xn=0a1sx1+a2sx2++ansxn=0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{21}x_2+\cdots +a_{n1}x_n=0 \\ a_{12}x_1+a_{22}x_2+\cdots +a_{n2}x_n=0 \\ \cdots \\ a_{1s}x_1+a_{2s}x_2+\cdots +a_{ns}x_n=0 \\ \end{cases}

(),x=(000)n齐次方程组(*)必定有零解, 即\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}_n

αi=(ai1ai2ais),A=[a11a21an1a12a22an2a1sa2sans]n×s令\alpha_i=\begin{pmatrix}a_{i1}\\a_{i2}\\\vdots \\a_{is}\end{pmatrix}, 则A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{21}&\cdots &a_{n1}\\a_{12}&a_{22}&\cdots &a_{n2}\\\vdots &\vdots & &\vdots \\a_{1s}&a_{2s}&\cdots &a_{ns}\end{bmatrix}_{n\times s}

s<n,,当s<n时, 即向量维度小于向量个数, 矩阵的宽度小于长度

,xs+1,,xn由解方程组的理论可知, 此时一定会有自由变量x_{s+1},\cdots ,x_n

ns,n×nA,或者说给向量增加n-s个维度, 就形成了一个n\times n的行列式|A|,
0,A=0每个维度上的数为0, 则易知行列式|A|=0

:0=0,理论依据: 添加一些系数全为零的方程相当于加入0=0, 是恒成立的

(),线方程组(*)一定有非零解, 说明向量一定线性相关

s>n,,当s>n时, 即向量维度大于向量个数, 矩阵的宽度大于长度

,有三种选择,

,一是减少维度, 最为常用
sn0运用解方程理论必定可以让所有向量s-n个维度变为0
n×n,进而降维到n\times n, 采用方阵相关理论即可解

线,二是增加线性无关向量,
sn线,xi增加s-n个与前面向量线性无关的向量, 解x_i的个数不会变
s×s,进而升维到s\times s, 采用方阵相关理论即可解

A,n线这两种方式均不会改变|A|的零性, 也就不会影响前n个向量的线性相关性

使三是使用子式
rr,r+1()一矩阵的秩是r⇔矩阵中有一个r级子式不为零,同时所有的r+1级子式(如果有的话)全为零

求和运算法则

  • i=1nxi=x1+x2++xn\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i=x_1+x_2+\cdots +x_n
  • i=1nkxi=ki=1nxi\displaystyle\sum_{i=1}^nkx_i=k\sum_{i=1}^nx_i
  • i=1n(xi+yi)=i=1nxi+i=1nyi\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i+y_i)=\sum_{i=1}^nx_i+\sum_{i=1}^ny_i
  • i=1nxij=1myj=j=1myji=1nxi=i=1nj=1mxiyj=j=1mi=1nxiyj\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^my_j=\sum_{j=1}^my_j\sum_{i=1}^nx_i=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mx_iy_j=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^nx_iy_j
  • i=1nxij=1myjzij=j=1myji=1nxizij=i=1nj=1mxiyjzij=j=1mi=1nxiyjzij\displaystyle\sum_{i=1}^nx_i\sum_{j=1}^my_jz_{ij}=\sum_{j=1}^my_j\sum_{i=1}^nx_iz_{ij}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mx_iy_jz_{ij}=\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^nx_iy_jz_{ij}

:常见的向量求和运算:

i=1nfi(x)=bi{f1(x)=b1f2(x)=b2fn(x)=bn,αi=(ai1ai2aim)定义符号\displaystyle\bigcap_{i=1}^nf_i(\vec{x})=b_i为方程组\begin{cases} f_1(\vec{x})=b_1 \\ f_2(\vec{x})=b_2 \\ \cdots \\ f_n(\vec{x})=b_n \\ \end{cases}, 设\alpha_i=\begin{pmatrix}a_{i1}\\a_{i2}\\\vdots \\a_{im}\end{pmatrix}

线:p=1mi=1naipki=0ki=0线性相关性:\displaystyle\bigcap_{p=1}^m\sum_{i=1}^na_{ip}k_i=0\rightarrow 是否\forall k_i=0

n=m,若n=m, 通过转置则有
p=1ni=1naipki=0ki=0\displaystyle\bigcap_{p=1}^n\sum_{i=1}^na_{ip}k_i=0\rightarrow 是否\forall k_i=0
\Leftrightarrow
p=1ni=1napiki=0ki=0\displaystyle\bigcap_{p=1}^n\sum_{i=1}^na_{pi}k_i=0\rightarrow 是否\forall k_i=0

分块矩阵和初等矩阵

广义三角矩阵行列式

A1OA2OOAn=A1A2An\begin{vmatrix}A_1&\cdots &\cdots &\cdots \\O&A_2&\cdots &\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O&O&\cdots &A_n\end{vmatrix}=|A_1||A_2|\cdots |A_n|

分块对角矩阵逆矩阵

[A1OOOA2OOOAn]1=[A11OOOA21OOOAn1]\begin{bmatrix}A_1&O &\cdots &O \\O&A_2&\cdots &O \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O&O&\cdots &A_n\end{bmatrix}^{-1}=\begin{bmatrix}A_1^{-1}&O &\cdots &O \\O&A_2^{-1}&\cdots &O \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\O&O&\cdots &A_n^{-1}\end{bmatrix}

初等矩阵

APQPAQ对一个矩阵A实施了初等行变换P和初等列变换Q即为矩阵乘法PAQ

PQE其中P和Q均为对单位矩阵E进行了初等行列变换的结果

初等行变换矩阵

  • Ei,j,P(i,j)互换E的i,j两行, 记作P(i,j)
    • P(i,j)=1|P(i,j)|=-1
    • P(i,j)1=P(i,j)P(i,j)^{-1}=P(i,j)
  • Eik,P(i(k))E的第i行乘以不等于零的数k, 记作P(i(k))
    • P(i(k))=k|P(i(k))|=k
    • P(i(k))1=P(i(1k))P(i(k))^{-1}=P(i(\displaystyle\frac{1}{k}))
  • Ejki,P(i,j)E的第j行的k倍加到第i行上, 记作P(i,j)
    • P(i,j(k))=1|P(i,j(k))|=1
    • P(i,j(k))1=P(i,j(k))P(i,j(k))^{-1}=P(i,j(-k))

(AE)(EA1)(A\quad E)\xrightarrow{初等行变换}(E\quad A^{-1})

(AB)(EA1B)(A\quad B)\xrightarrow{初等行变换}(E\quad A^{-1}B)

初等行变换矩阵

  • P(i,j)=Q(i,j)P(i,j)=Q(i,j)
  • P(i(k))=Q(i(k))P(i(k))=Q(i(k))
  • P(i,j(k))=Q(j,i(k))P(i,j(k))=Q(j,i(k))

(AE)(EA1)\begin{pmatrix}A\\E\end{pmatrix}\xrightarrow{初等列变换}\begin{pmatrix}E\\A^{-1}\end{pmatrix}

(AB)(EBA1)\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}\xrightarrow{初等列变换}\begin{pmatrix}E\\BA^{-1}\end{pmatrix}

分块矩阵运算

A若A可逆

[EmOCA1En][ABCD]=[ABODCA1B]\begin{bmatrix}E_m&O\\-CA^{-1}&E_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A&B\\O&D-CA^{-1}B\end{bmatrix}

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