向量与行列式的几何意义
向量几何意义
令向量α=⎝⎜⎜⎜⎛a1a2⋮an⎠⎟⎟⎟⎞
向量α是从原点(0,0,⋯,0)指向另一点(a1,a2,⋯,an)的有向线段
行列式几何意义
对于二阶行列式∣∣∣∣a11a12a21a22∣∣∣∣=a11a22−a12a21
向量α1=(a11a12)和α2=(a21a22)所形成的一个平行四边形面积
S=2×21∣α1∣∣α2∣sin⟨α1,α2⟩=∣α1∣∣α2∣1−(∣α1∣∣α2∣α1⋅α2)2
=(∣α1∣∣α2∣)2−(α1⋅α2)2
=(a112+a122)(a212+a222)−(a11a21+a12a22)2
=a122a212+a112a222−2a11a21a12a22
=∣a11a22−a12a21∣
我们可知,
二阶行列式是两个二维向量所围成的平行四边形的面积
依次类推,我们同样有
三阶行列式是三个三维向量所围成的平行六面体的体积
n阶行列式是n个n维向量所围成的平行超多面体的超体积